Eigenfaces

Vectorii proprii ai matricei de covarianta a setului de imagini de fete, reformatati ca imagini.

Fata Medie (\(\boldsymbol{\mu}\))

Media aritmetica a tuturor imaginilor de antrenare. Este termenul constant din formula de reconstructie:

\[ \mathbf{f} \approx \boldsymbol{\mu} + \sum_{i=1}^{k} \alpha_i \mathbf{u}_i \]

PCA opereaza pe datele centrate \(\tilde{X} = X - \mathbf{1}\boldsymbol{\mu}^\top\).

Mean face
Top 16 Eigenfaces

Fiecare eigenface este un vector propriu al matricei de covarianta a setului de date, reformat ca imagine.

Eigenfaces grid

Ce captureaza fiecare grup de componente (la modelul nostru):

  • PC 1-3: iluminarea globala. PC 1 prinde contrastul lateral stanga-dreapta, PC 2 contrastul opus, PC 3 iluminarea verticala (jos vs sus). Sunt cele mai energetice componente, pentru ca LFW are poze in conditii de lumina foarte variate.
  • PC 4-8: structura globala a fetei: conturul, accentuari ale ochilor, formei gurii si nasului. PC 4 arata ca o expresie ampla, PC 6-7 separa zonele frunte / barbie / obraji.
  • PC 9-16: detalii locale specifice: texturi ale parului, conturul ochilor, riduri si umbre fine. Imaginea devine vizibil mai „zgomotoasa” pe masura ce indicele creste.
  • Componente de ordin mai mare: codifica diferente foarte fine intre persoane si artefacte ale datasetului; varianta capturata scade rapid (a se vedea scree plot).
Reconstructie Progresiva

O imagine de fata poate fi reconstruita ca o combinatie liniara de eigenfaces:

\[ \mathbf{f} \approx \boldsymbol{\mu} + \sum_{i=1}^{k} \alpha_i \mathbf{u}_i \]

unde \(\boldsymbol{\mu}\) este fata medie, \(\mathbf{u}_i\) sunt eigenfaces (vectorii proprii ai matricei de covarianta), iar \(\alpha_i = \mathbf{u}_i^\top(\mathbf{f} - \boldsymbol{\mu})\) sunt coordonatele in spatiul PCA. Cu cat \(k\) e mai mare, cu atat reconstructia e mai fidela.

Progressive reconstruction

La k=150 componente (din ~1288 disponibile), reconstructia e deja foarte apropiata de original, si totusi dimensionalitatea e redusa de la 1850 la 150.